Esfera

As fórmulas para calcular o volume e a área da esfera são as seguintes:

Exemplos:

Secção da Esfera

Podemos imaginar imaginar assim: Temos uma laranja, mas não a cortamos no meio, cortamos uma tampa, o raio dessa região irá ser o mesmo? Não.

Quando se aumenta ou diminui a altura ou distancia, o raio diminui ou aumenta até chegar ao valor do raio central.

Na figura acima temos R como o raio central da laranja, d a distancia que um raio tem do outro e r o raio da região onde ela será cortada ou secção. Com isso forma-se um triângulo retângulo e aí temos o Pitágoras (O maior de todos e Meu intelectual favorito yey *-* By:Gui)

Exemplos:

1)      Dada uma esfera com raio de 8 cm e uma distancia de 4 cm calcule o raio menor e a área daquela região:

Resolvendo...

Para calcular o raio temos que usar o tio pit então:

8² = 4²+r² → 64 – 16 = r² → r²=48 → r= √48 cm

r =  4√3 cm

A = 4pi (4√3)² → A = 4*pi*16*3 → A= 192 pi cm²

2)      Dado um cubo com aresta de 4 cm calcule a área de uma esfera nele Inscrita
Resolvendo...
Como a Esfera está Inscrita dentro do cubo, e o Cubo tem 4cm de aresta, o Raio da esfera vai ser de 2 Centímetros, pois é a metade da aresta do cubo.
Para calcular basta usar a fórmula comum da Area da Esfera:
A = 4pir²
A = 4pi2² → r² = 4
A = 4pi*4
A= 16pi

Anterior | Próxima

Volume

Quando a gente fala em sólido a gente pensa que eles ocupam certo espaço. O volume seria a quantidade de espaço que é ocupada dentro daquele sólido, e para calculá-lo a gente precisa calcular a área da base e multiplicar pela sua altura. Nessa fórmula a gente calcula a quantidade de vezes que aquela figura cabe dentro do sólido.

Anterior | Próxima

Área da base e área lateral

Os sólidos geométricos regulares são um conjunto de figuras geométricas. Um cilindro, por exemplo, tem como suas bases (figura de baixo e de cima) um círculo e na sua lateral um retângulo.

Então para calcular a área dos sólidos é só calcular a área das figuras planas e somá-las. Dividimos as áreas em duas partes área da base e área lateral. A área da base é calculada pela área da figura que serve como base e multiplicada por dois, pois são duas bases, a área lateral é calculada através da área da figura que está na parte lateral (obviamente). Em alguns sólidos é necessário calcular a área lateral por partes pois algumas figuras podem ter medidas diferentes ou possui mais de uma figura na parte lateral, então é só calcular todas as áreas e depois somar.

Exemplos:

Determine a área lateral e a área total de um cilindro inscrito num cubo de aresta 4cm.
Primeiramente pra area lateral, é só usar a formula da Circunferência: 2pi*r e multiplicar pela altura do cilindro, neste caso a altura é o tamanho da Aresta então a formula fica:
Alateral = 2.pi.2 * 4
Alateral = 4pi * 4 = 16pi

Agora para calcular a área total vamos precisar da área da base seguindo a fórmula área= pir²
entao fica:
ABase = pi2²
Abase = 4pi

E a área total é a soma dos dois lembrando que temos dois circulos então multiplicamos a área da base por 2.
Atotal = 4pi + 4pi + 16pi = 24pi ou 75,36 >.<

Anterior | Próxima

Aresta, face e vértice.

Os sólidos geométricos são formados pela união de suas faces (podem ser chamadas de lado do sólido), essas faces possuem um ponto máximo de encontro que é chamado de vértice, e na formação das faces temos as arestas que são os “ricos” da figura.

Um cubo, por exemplo, tem 12 arestas, 6 faces e 8 vértices:

Anterior | Próxima

Sólidos

Na Geometria espacial temos os seguintes sólidos:

• Prismas

• Prisma de base quadrada: a base é um quadrado

Exemplo:

Dado um prisma cuja base quadrada possui uma aresta com 7 cm e seu comprimento é de 14 cm. Calcule a área total, e seu volume.
Resolução:

Primeiro vamos calcular a área da base:
Ab= 7² = 49 cm²
A figura da parte lateral é um retângulo e temos 4 deles, então calculamos a área e multiplicamos por 4:
Al=14 x 7 = 98 cm² x 4 = 392 cm²
A área total vai ser a soma destas duas áreas:
At=Ab+Al => At= 49+392=441 cm²
Agora o volume:
V= 49*14=686 cm³
Então temos: área total = 441 cm² e volume= 686 cm³

• Prisma de base triangular: a base é um triângulo

Exemplo:

Um sólido com a base que é um triângulo com aresta de 6 cm, tem 10 cm de comprimento, calcule o volume e mostre sua planificação.

Resolução:

Planificação:

Primeiro vamos calcular a área da base:

Ab=(6²√3)/4   => Ab= 9√3 cm²

V= 9√3*10 = 90√3 cm³

• Prisma de base hexagonal: a base é um hexágono

Exemplo:

Dado um prisma de base hexagonal com 2 cm de aresta e 15 de altura calcule a área total. (Adote √3=1,7)

calculando a area da base:

Ab=2²√3/4= √3cm² x 6= 6√3

calculando a area lateral:

Al= 15*2= 30 cm²

somando as áreas:

At=6√3+30cm²

At=10,2+30=40,2 cm²

• Cubo

O cubo é um paralelepípedo / prisma que possui todas as medidas iguais.

Exemplos:

1) Calcule o volume de um cubo com aresta de 5 cm.

Este exemplo dá para resolver de uma maneira lógica. O volume é dado em cm³ (neste caso cm) como todas as medidas são iguais é só elevar o 5 ao cubo, então:

V=5³= 125 cm³

2) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 9m, 6m e 4 m. Calcule a medida da aresta de um cubo cujo o volume é igual ao volume do paralelepípedo dado.

primeiro temos que calcular o volume do paralelepípedo:

V=9*6*4= 216

agora a gente tira raiz cúbica do volume do paralelepípedo

V= 6 cm :D

• Cilindro

O cilindro tem como base um círculo  e um retângulo lateral que tem como sua base a medida da circunferência do circulo.

Exemplos:

1) Determine a área lateral e a área total de um cilindro inscrito num cubo de aresta 4 cm.

Resolução:

Bom primeiro vamos calcular a área da base

o raio do circulo é a metade da medida da aresta do cubo, então:

Ab= pi(2²) => Ab=4pi

agora a area lateral:

Al=2*pi*2*4= 16pi cm²

agora a area total:

At= 4pi+16pi=20pi cm²

Anterior | Próxima